L'algebra (dall' arabo الجبر, al-ğabr, 'completamento') è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazioni e quantità.
Storia dell'algebra
Il termine algebra (dall' arabo الجبر, al-ǧabr che significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare") deriva dal libro del matematico persiano Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī, intitolato Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala ("Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento"), conosciuto anche nella forma breve Al-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala, che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.
Ci sono anche alcune testimonianze su problemi algebrici semplici dell' Antico Egitto, della Grecia arcaica e della Mesopotamia, di matematici che fecero uso di proprietà attinenti all'algebra elementare.
Algebra retorica
Algebra totalmente priva di simboli, i passaggi sono descritti a parole, secondo la tradizione di Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.
Algebra sincopata
Algebra descrittiva, ma con notazioni simboliche, come quella usata dal greco Diofanto di Alessandria.
Algebra simbolica
Algebra in cui i concetti sono rappresentati in simboli, utilizzata oggi in tutto il mondo è nata nell'antica India e poi sviluppata nel XVI secolo dai matematici europei.
Concetti dell'algebra
Numeri
Un numero è un oggetto astratto, usato per misurare una quantità. I numeri più utilizzati sono i numeri naturali:
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
…
{\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6\ldots }
Aggiungendo a questi i numeri negativi, tramite il segno meno, si ottengono tutti i numeri interi:
…
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots }
Aggiungendo a questi le frazioni si ottengono tutti i numeri razionali:
−
6
,
−
3
2
,
27
4
,
…
{\displaystyle -6,-{\frac {3}{2}},{\frac {27}{4}},\ldots \,\!}
Infine, i numeri reali contengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, quali ad esempio:
2
,
π
,
e
,
…
{\displaystyle {\sqrt {2}},\pi,e,\ldots \,\!}
Aggiungendo a questi un elemento
i
{\displaystyle i}
, chiamato unità immaginaria, tale che
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
, si ottengono i numeri complessi:
2
−
i
,
2
+
3
i
,
π
i
,
…
{\displaystyle 2-i,{\sqrt {2}}+3i,\pi i,\ldots }
Gli insiemi formati dai numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi sono indicati con le lettere :
N
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
⊂
C
.
{\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}.}
Ciascun insieme è contenuto nel successivo, come indicato dal simbolo
⊂
{\displaystyle \subset }
di inclusione insiemistica. Ad esempio, il numero
−
3
{\displaystyle -3}
non è un numero naturale, ma è un numero intero: quindi è anche razionale, reale e complesso.
