A matematikában a hálónak két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik rendezési relációkkal (ld. részbenrendezett halmazok) definiálja a háló fogalmát, a másik pedig (amely R. Dedekindtől ered, aki a német Dualgrouppe (duálcsoport, kettőscsoport) elnevezést találta rá ki) kétváltozós műveletekkel, kétműveletes algebrai struktúraként. A részbenrendezett halmazok közül azokat nevezzük hálónak, amelyekre bármely kételemű részhalmazára teljesül, hogy az adott kételemű halmaznak van szuprémuma és infimuma. Ha egy részbenrendezett halmaz bármely részhalmazára (tehát nem csak a kételeműekre) teljesül az, hogy létezik szuprémuma és infimuma, akkor teljes hálóról beszélünk. Az algebrai struktúrák felől megközelítve a háló fogalmát azt mondhatjuk, hogy a hálók olyan struktúrák, amelyekben definiálva van két kétváltozós kommutatív, asszociatív művelet, amelyek eleget tesznek az ún. elnyelési azonosságoknak is.
Definíció
A háló alábbi két definíciója ekvivalens:
Definíció részbenrendezett halmazok használatával
Az
(
A
;
)
{\displaystyle (A;)}
részbenrendezett halmazt hálónak nevezzük, ha
A
{\displaystyle A}
bármely kételemű részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.
Az
(
A
;
)
{\displaystyle (A;)}
részbenrendezett halmazt teljes hálónak nevezzük, ha
A
{\displaystyle A}
bármely részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.
Definíció algebrai struktúrák használatával
Az
(
A
;
∪
,
∩
)
{\displaystyle (A;\cup,\cap )}
kétműveletes algebrai struktúrát hálónak nevezzük, ha
∪
{\displaystyle \cup }
,
∩
{\displaystyle \cap }
kétváltozós műveletek
A
{\displaystyle A}
-n, amelyekre tetszőleges
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle a,b,c\in A}
elemekre teljesülnek a következők:
a
∪
b
=
b
∪
a
{\displaystyle a\cup b=b\cup a}
,
a
∩
b
=
b
∩
a
{\displaystyle a\cap b=b\cap a}
(kommutativitás),
(
a
∪
b
)
∪
c
=
a
∪
(
b
∪
c
)
{\displaystyle (a\cup b)\cup c=a\cup (b\cup c)}
,
(
a
∩
b
)
∩
c
=
a
∩
(
b
∩
c
)
{\displaystyle (a\cap b)\cap c=a\cap (b\cap c)}
(asszociativitás),
a
∩
(
a
∪
b
)
=
a
{\displaystyle a\cap (a\cup b)=a}
,
a
∪
(
a
∩
b
)
=
a
{\displaystyle a\cup (a\cap b)=a}
(elnyelési azonosságok).Az
∪
{\displaystyle \cup }
műveletet egyesítésnek, a
∩
{\displaystyle \cap }
műveletet pedig metszetnek hívjuk.
Ha a két műveletet megcseréljük, akkor a duális hálót kapjuk.
