A Menger-szivacs (néha Sierpiński-szivacs vagy Menger–Sierpiński-szivacs) egy fraktál, amelyet úgy kapunk, hogy egy kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet, amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást rekurzívan ismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta, aki a topológiai dimenzió tulajdonságainak vizsgálata közben fedezte fel.
Definíciója
A Menger-szivacs formálisan így definiálható:
M
:=
⋂
n
∈
N
M
n
{\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}
ahol M0 az egységkockát jelöli, és:
M
n
+
1
:=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
∃
i
,
j
,
k
∈
{
0
,
1
,
2
}
:
(
3
x
−
i
,
3
y
−
j
,
3
z
−
k
)
∈
M
n
e
s
i
,
j
,
k
közül legfeljebb egy 1
}
{\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\\mathrm {es} i,j,k{\mbox{ közül legfeljebb egy 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}}
Tulajdonságai
A Menger-szivacs a Cantor-halmaz és a Sierpiński-szőnyeg térbeli megfelelője; a szivacs minden lapja Sierpiński-szőnyeg, és minden (lap- és test-) átlója Cantor-halmaz. A szivacs egy kompakt halmaz, Lebesgue-mértéke 0, topológiai dimenziója 1, Hausdorff-dimenziója
log
20
log
3
{\displaystyle {\frac {\log {20}}{\log {3}}}}
(kb. 2,727). Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási kockába, ezért véges halmaz. Ezért a Heine–Borel-tétel miatt kompakt. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.
Konstrukciója
A Menger-szivacs a Sierpiński-szőnyeghez hasonlóan konstruálható:
Vegyünk egy kockát
Osszuk fel minden oldalát 9 négyzetre; ezek 27 kis kockára osztják a kockát, Rubik-kocka módjára.
Eltávolítjuk minden lap középső kockáját, és a nagy kocka középső kockáját.
