A Mandelbulb egy háromdimenziós fraktál, amelyet Daniel White és Paul Nylander 2009-ben gömb alakú koordináták alapján épített fel. Nem létezik kanonikus háromdimenziós Mandelbrot halmaz, mivel nincs komplex számok kétdimenziós térének háromdimenziós analógja.. A Mandelbrot készleteket négy dimenzióban állíthatjuk elő négyzetek és bicomplex számok felhasználásával.
White és Nylander képlete a vektor "n. Hatalmára"
v
=
⟨
x
,
y
,
Z
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} = \ langle x, y, z \ rangle}
ℝ3-ban van
v
n
: =
r
n
⟨
bűn
(
n
θ
)
kötözősaláta
(
n
φ
)
,
bűn
(
n
θ
)
bűn
(
n
φ
)
,
kötözősaláta
(
n
θ
)
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {n}: = r ^ {n} \ langle \ sin (n \ theta) \ cos (n \ phi), \ sin (n \ theta) \ sin (n \ phi), \ cos (n \ theta) \ csengő}
ahol
r
=
x
2
+
y
2
+
Z
2
{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
,
φ
=
arctan
(
y
/
x
)
=
arg
(
x
+
y
én
)
{\ displaystyle \ phi = \ arctan (y / x) = \ arg (x + yi)}
és
θ
=
arctan
(
x
2
+
y
2
/
Z
)
=
ARccOS
(
Z
/
r
)
{\ displaystyle \ theta = \ arctan ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} / z) = \ arccos (z / r)}
. A Mandelbulbot ezután ezen halmazként definiálják
c
{\ displaystyle {\ mathbf {c}}}
ℝ3-ban, amelynek pályája
⟨
0
,
0
,
0
⟩
{\ displaystyle \ langle 0,0,0 \ rangle}
az iteráció alatt
v
↦
v
n
+
c
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ mapsto {\ mathbf {v}} ^ {n} + {\ mathbf {c}}}
korlátozott. N> 3 esetén az eredmény egy háromdimenziós izzószerű szerkezet, fraktál felületi részletességgel és n-től függően számos "lebenyvel". Számos grafikus megjelenítésük n = 8-at használ. Az egyenletek azonban egyszerűsíthetők racionális polinomokká, ha n páratlan. Például n = 3 esetben a harmadik teljesítmény egyszerűsíthető elegánsabb formába:
⟨
x
,
y
,
Z
⟩
3
=
⟨
(
3
Z
2
-
x
2
-
y
2
)
x
(
x
2
-
3
y
2
)
x
2
...
