Mandelbrot-halmaz
A matematikában a Mandelbrot-halmaz azon c komplex számokból áll (a „komplex számsík” azon pontjainak mértani helye, halmaza), melyekre az alábbi (komplex szám értékű)
x
n
{\displaystyle {x_{n}}}
rekurzív sorozat:
x
1
:=
0
{\displaystyle x_{1}:=0\,}
x
n
+
1
:=
(
x
n
)
2
+
c
{\displaystyle x_{n+1}:=(x_{n})^{2}+c\,}
nem tart végtelenbe, azaz abszolút értékben (hosszára nézve) korlátos.
A Mandelbrot-halmazt a komplex számsíkon ábrázolva, egy nevezetes (és hasonnevű) fraktálalakzat adódik.
Tehát, az M Mandelbrot-halmaz a komplex számoknak az az
M
⊂
C
{\displaystyle M\subset \mathbb {C} }
részhalmaza, melyre
M
=
{
c
∈
C
∣
x
n
↛
∞
}
{\displaystyle M=\left\{c\in \mathbb {C} \ \mid \ x_{n}\not \rightarrow \infty \right\}}
.
A halmaz definíciója ekvivalens a következővel:
M azon komplex számok halmaza, melyekre az
f
c
:
C
→
C
;
z
↦
z
2
+
c
{\displaystyle f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto z^{2}+c\,}
c-vel paraméterezett függvényrendszer elemeihez tartozó Julia-halmaz összefüggő. A Mandelbrot-halmaz grafikus megjelenítése úgy történik, hogy az ilyen tulajdonságú c pontokat a komplex számsíkon ábrázolják.
A Mandelbrot-halmazt Benoît Mandelbrot fedezte fel, és Adrien Douady és John Hamal Hubbard nevezte el róla 1982-ben ([1]).
A Mandelbrot-halmaz körül a róla készült számítógépes grafikák nyomán a kilencvenes évektől kezdve, mondhatni, szakmai - de a szakmán túl is mutató - , közéleti és popkulturális nemzetközi kultusz alakult ki, köteteket írtak róla és a tanulmámyozásából kialakult ún. fraktál-geometriáról, tudományos cikkek és egyetemi (pl. informatikai) kézikönyvek, tudományos ismeretterjesztő művek kedvelt példaalakzata lett, amatőr és profi művészeti alkotások egész sora foglalkozott vele, és egy új művészeti paradigma, a fraktálművészet megalakulása is elsősorban a felfedezésének köszönhető.
