Kúp - online rejtvények
Online puzzle Kúp
A matematikában a kúp (idegen szóval kónusz) gúlaszerű térbeli test. A kúp alapja kör vagy ellipszis, palástját a csúcsot az alap határpontjaival összekötő egyenes szakaszok, az alkotók uniója alkotja. Megkülönböztethetünk egyenes és ferde kúpokat aszerint, hogy a csúcs merőleges vetülete az alapra egybeesik-e az alap középpontjával. Kúp alatt leggyakrabban az egyenes, kör alapú kúpokat értik. A kúpot az alapjával párhuzamos síkkal elmetszve csonka kúpot kapunk.
Képletek
A kúpoknak létezik térfogata és felszíne.
Térfogat
Jelölje
b
{\displaystyle b}
a kúp alapjának a területét, s legyen
h
{\displaystyle h}
a magassága. Ekkor a térfogat az alábbiak szerint számítható:
V
=
1
3
b
h
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh}
Speciálisan, ha a kúp kör alapú, akkor
r
{\displaystyle r}
-rel jelölve a kör sugarát, így részletezhető a formula:
V
=
1
3
π
r
2
h
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}
A másik esetben, ha az alap elliptikus, akkor pedig az ellipszis sugarait
r
1
{\displaystyle r_{1}}
és
r
2
{\displaystyle r_{2}}
szimbólumokkal jelölve a következőképpen:
V
=
1
3
π
r
1
r
2
h
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r_{1}r_{2}h}
Felszín
A kúp felszíne az alap és a palást területének összege. Az egyenes, köralapú kúp esetében erre adható egyszerű képlet:
A
=
π
r
2
+
π
r
a
{\displaystyle A=\pi r^{2}+\pi ra}
ahol
a
{\displaystyle a}
a kúp egy alkotójának hossza, képlete:
a
=
r
2
+
h
2
{\displaystyle a={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
Ez a Pitagorasz-tétel egyenes következménye.
Beírható gömb sugara
Az egyenes körkúpba írható gömb ρ sugarának képlete:
ρ
=
3
V
A
{\displaystyle \rho ={\frac {3V}{A}}}
ahol A jelöli a kúp felszínét, V pedig a térfogatát.