hanyatlás - online rejtvények
Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye
f
(
x
)
=
1
σ
2
π
⋅
e
−
(
x
−
m
)
2
2
σ
2
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}
ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.
Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:
X
∼
N
(
m
,
σ
2
)
.
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2}).}
Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.
A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.
A normális eloszlást jellemző függvények
Eloszlásfüggvénye
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
1
σ
2
π
⋅
e
−
(
t
−
m
)
2
2
σ
2
d
t
(
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(t-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dt\left(=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt\right)}
Karakterisztikus függvénye
φ
(
t
)
=
e
i
t
m
−
σ
2
t
2
2
{\displaystyle \varphi (t)=e^{itm-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}
Sűrűségfüggvényének tulajdonságai
Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
(
∀
x
∈
R
)
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} )f(x)>0}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}
Folytonos függvény.
A normális eloszlást jellemző számok
Várható értéke
E
(
X
)
=
m
{\displaystyle \mathbf {E} (X)=m}
Szórása
D
(
X
)
=
σ
{\displaystyle \mathbf {D} (X)=\sigma }
Momentumai
E
(
X
p
)
=
{
0
ha
p
páratlan,
σ
p
(
p
−
1
)
!
!
