belép - online rejtvények
A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek.
Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.
Bizonyítása
A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.
I. eset
A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.
Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban
α
{\displaystyle \alpha }
, a középponti szög pedig
ω
{\displaystyle \omega }
.
Az ábrán látható
B
C
O
{\displaystyle BCO}
O
C
=
O
B
=
r
{\displaystyle OC=OB=r}
, ezért
C
{\displaystyle C}
-nél és
B
{\displaystyle B}
-nél lévő szöge egyaránt
α
{\displaystyle \alpha }
. Mivel
ω
{\displaystyle \omega }
ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz
ω
=
2
α
{\displaystyle \omega =2\alpha }
.
II. eset
A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.
Vegyük fel a
C
O
{\displaystyle CO}
egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem
C
{\displaystyle C}
) metszéspontja legyen
D
{\displaystyle D}
.
