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En mathématiques, une condition aux limites de Dirichlet (nommée d’après Johann Dirichlet) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

Pour une équation différentielle, par exemple :

y

″

+

y

=

0

{\displaystyle y''+y=0~}

la condition aux limites de Dirichlet sur l'intervalle

[

a

,

b

]

{\displaystyle [a,\,b]}

s'exprime par :

y

(

a

)

=

α

et

y

(

b

)

=

β

{\displaystyle y(a)=\alpha \ {\text{et}}\ y(b)=\beta }

où

α

{\displaystyle \alpha }

et

β

{\displaystyle \beta }

sont deux nombres donnés.

Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple :

Δ

y

+

y

=

0

{\displaystyle \Delta y+y=0~}

où

Δ

{\displaystyle \Delta ~}

est le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aux limites de Dirichlet sur un domaine

Ω

⊂

R

n

{\displaystyle \Omega \subset R^{n}}

s'exprime par :

y

(

x

)

=

f

(

x

)

∀

x

∈

∂

Ω

{\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }

où

f

{\displaystyle f}

est une fonction connue définie sur la frontière

∂

Ω

{\displaystyle \partial \Omega }

.

Il existe d'autres conditions possibles. Par exemple la condition aux limites de Neumann, ou la condition aux limites de Robin, qui est une combinaison des conditions de Dirichlet et Neumann.