En géométrie, un rayon d'un cercle ou d'une sphère est un segment de droite quelconque reliant son centre à sa circonférence. Par extension, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre. En sciences et en ingénierie, le terme rayon de courbure est souvent utilisé comme synonyme de rayon.
Plus généralement — en géométrie, ingénierie, théorie des graphes et dans nombre d'autres contextes — le rayon de quelque chose (par exemple un cylindre, un polygone, un graphe ou une pièce mécanique) est la distance de son centre ou axe de symétrie à ses points de surface les plus éloignés. Dans ce cas, le rayon peut être plus grand que la moitié du diamètre[réf. nécessaire].
La relation entre le rayon r et la circonférence c d'un cercle est
r
=
c
2
π
{\displaystyle r={\frac {c}{2\pi }}}
.
Rayon d'un cercle
Pour calculer le rayon R d'un cercle passant par trois points A, B, C, la formule suivante peut être utilisée (voir Théorème de l'angle inscrit, Angle inscrit dans un demi - cercle et figure ci-contre) :
R
=
a
2
sin
α
{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \ alpha }}}
,
où a est la longueur du côté [B, C] et α est l'angle ⦟BAC.
Si les trois points sont donnés par leurs coordonnées
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
,
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
et
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle (x_{3},y_{3})}
, on peut aussi utiliser la formule suivante (voir Loi des sinus et Aire d'un triangle ) :
R
=
(
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
)
(
(
x
2
−
x
3
)
2
+
(
y
2
−
y
3
)
2
)
(
(
x
3
−
x
1
)
2
+
(
y
3
−
y
1
)
2
)
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
1
−
x
1
y
3
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
|
{\displaystyle R={\frac {\sqrt {\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}\right)}}{2\left|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}\right|}}}
.
Rayon d'une ellipse
Le rayon moyen r d'une ellipse est le rayon d'un cercle d'aire ( surface ) égale à celle de cette ellipse.
