Le nombre d' or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c' est -à-dire lorsque :
a
+
b
a
=
a
b
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.}
Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d' or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi).
Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l' équation x2 = x + 1. Il vaut :
Il intervient dans la construction du pentagone régulier. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5). Le nombre d' or s'observe aussi dans la nature (quelques phyllotaxies, par exemple chez les capitules du tournesol, pavage de Penrose de quasi-cristaux) ou dans quelques œuvres et monuments ( architecture de Le Corbusier, musique de Xenakis, peinture de Dalí).
L' histoire de cette proportion commence à une période de l'Antiquité qui n' est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les Éléments d'Euclide. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l' honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme « divine proportion » en l'associant à un idéal envoyé du ciel.
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