En mathématiques, un point extrême d'un ensemble convexe S dans un espace vectoriel réel est un point de S qui ne se trouve dans aucun segment de ligne ouverte reliant deux points de S. Intuitivement, un point extrême est un « sommet » de S.
Le théorème de Kerin-Milman énonce que si S est convexe et compact dans un espace localement convexe, alors S est la coque fermée convexe de ses points extrêmes: En particulier, un tel ensemble a des points extrêmes.
Le théorème de Kerin-Milman est énoncé pour les espaces vectoriels topologiques localement convexes. Les théorèmes suivants sont indiqués pour les espaces de Banach avec la propriété Radon-Nikodym:
Un théorème de Joram Lindenstrauss affirme que, dans un espace de Banach avec la propriété Radon-Nikodym, un ensemble fermé et borné non vide a un point extrême. (Dans les espaces de dimension infinie, la propriété de compacité est plus forte que les propriétés communes d'être fermé et d'être borné).
Un théorème de Gerald Edgar déclare que, dans un espace de Banach avec la propriété Radon-Nikodym, un ensemble fermé et borné est la coque convexe fermée de ses points extrêmes:
Soit E un espace de Banach avec la propriété Radon-Nikodym, soit C un sous-ensemble séparable, fermé, borné, convexe de E, et soit a un point dans C. Alors il y a une mesure de probabilité p sur les ensembles universellement mesurables dans C tel que a est le barycentre de p, et l'ensemble des points extrêmes de C a p-mesure 1.
Le théorème d'Edgar implique le théorème de Lindenstrauss.
