representación - rompecabezas en línea

En el estudio de los grupos en álgebra, una representación de grupo es una "descripción" de un grupo como grupo concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto matemático. Más formalmente, la "descripción" significa que hay un homomorfismo del grupo a un cierto grupo de automorfismos. Una representación fiel es una en la cual este homomorfismo es inyectivo.

Primeros ejemplos

A veces se utiliza realización para esta noción, reservando el término representación para lo qué más abajo se llamará representaciones lineales. La teoría de la representación se divide en subteorías dependiendo de la clase de grupo que es representado. Las divisiones más importantes son:

Grupos finitos: las representaciones de grupo son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También aparecen en ciertas aplicaciones de la teoría de grupos finitos cristalografía y en geometría. El caso especial donde la representación es sobre un cuerpo de característica p y p divide el orden del grupo, llamada teoría de la representación modular, tiene propiedades muy diversas (véase abajo ).

Grupos topológicos compactos o localmente compactos: muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos son probados haciendo un promedio sobre el grupo. Estas pruebas se pueden transportar a los grupos infinitos si el promedio es substituido por una integral, lo que solamente funciona si podemos definir una noción aceptable de integral.