Mandelbulbo
El mandelbulbo (nombre original en inglés: mandelbulb) es un fractal tridimensional, construido por primera vez en 1997 por Jules Ruis y desarrollado en 2009 por Daniel White y Paul Nylander utilizando coordenadas esféricas.
No existe un conjunto de Mandelbrot tridimensional canónico, ya que no existe un análogo tridimensional del espacio bidimensional de los números complejos. En cambio, sí que es posible construir conjuntos de Mandelbrot en 4 dimensiones usando cuaterniones o números bicomplejos.
La fórmula de White y Nylander para la "nésima potencia" del vector
v
=
⟨
x
,
y
,
z
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle x,y,z\rangle }
en ℝ3 es
v
n
:=
r
n
⟨
sin
(
n
θ
)
cos
(
n
ϕ
)
,
sin
(
n
θ
)
sin
(
n
ϕ
)
,
cos
(
n
θ
)
⟩
,
{\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle ,}
donde
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
ϕ
=
arctan
y
x
=
arg
(
x
+
y
i
)
,
{\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}=\arg(x+yi),}
θ
=
arctan
x
2
+
y
2
z
=
arccos
z
r
.
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}=\arccos {\frac {z}{r}}.}
El mandelbulbo se define entonces como el conjunto de aquellos
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
en ℝ3 para los cuales la órbita de
⟨
0
,
0
,
0
⟩
{\displaystyle \langle 0,0,0\rangle }
bajo la iteración
v
↦
v
n
+
c
{\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} ^{n}+\mathbf {c} }
está acotada.[1] Para n > 3, el resultado es una estructura en forma de bulbo tridimensional con detalles de superficie fractal y una cantidad de "lóbulos" dependiendo de n. Muchas de sus representaciones gráficas usan n = 8. Sin embargo, las ecuaciones se pueden simplificar en polinomios racionales cuando n es impar. Por ejemplo, en el caso n = 3, la tercera potencia se puede simplificar en la forma más elegante:
⟨
x
,
y
,
z
⟩
3
=
⟨
(
3
z
2
−
x
2
−
y
2
)
x
(
x
2
−
3
y
2
)
x
2
+
y
2
,
(
3
z
2
−
x
2
−
y
2
)
y
(
3
x
2
−
y
2
)
x
2
+
y
2
,
z
(
z
2
−
3
x
2
−
3
y
2
)
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{3}=\left\langle {\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\right\rangle .}
El mandelbulbo dado por la fórmula anterior es en realidad uno de una familia de fractales dados por parámetros (p, q) dados por
v
n
:=
r
n
⟨
sin
(
p
θ
)
cos
(
q
ϕ
)
,
sin
(
p
θ
)
sin
(
q
ϕ
)
,
cos
(
p
θ
)
⟩
.
{\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(p\theta )\cos(q\phi ),\sin(p\theta )\sin(q\phi ),\cos(p\theta )\rangle .}
Dado que p y q no necesariamente tienen que ser iguales a n para que se mantenga la identidad |vn| = |v|n, se pueden encontrar más fractales generales estableciendo que
v
n
:=
r
n
⟨
sin
(
f
(
θ
,
ϕ
)
)
cos
(
g
(
θ
,
ϕ
)
)
,
sin
(
f
(
θ
,
ϕ
)
)
sin
(
g
(
θ
,
ϕ
)
)
,
cos
(
f
(
θ
,
ϕ
)
)
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}{\big \langle }\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\cos {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\sin {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\cos {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}{\big \rangle }}
para las funciones f y g.
