integración - rompecabezas en línea
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia ; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Principales objetivos del cálculo integral
Sus principales objetivos a estudiar son:
Área de una región plana
Cambio de variable
Integrales indefinidas
Integrales definidas
Integrales impropias
Integral de línea
Integrales múltiples (dobles o triples)
Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
Métodos de integración
Teorema fundamental del cálculo
Volumen de un sólido de revolución
Teoría
Dada una función
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
de una variable real
x
{\displaystyle x}
y un intervalo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano
x
y
{\displaystyle xy}
limitada entre la gráfica de
f
{\displaystyle f}
, el eje
x
{\displaystyle x}
, y las líneas verticales
x
=
a
{\displaystyle x=a}
y
x
=
b
{\displaystyle x=b}
, donde son negativas las áreas por debajo del eje
x
{\displaystyle x}
.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x}
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada
f
{\displaystyle f}
. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
