El concepto de infinito ( símbolo : ∞) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía y la astronomía, en referencia a una cantidad sin límite o sin final, contrapuesto al concepto de finitud.
En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos. Todos estos conceptos son diferentes y no corresponden todos ellos a la misma noción de infinitud.
Teoría de conjuntos
Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza: "dada una parte propia de los mismos, ésta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto". Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad "intuitiva" de los conjuntos finitos no la tienen los conjuntos infinitos, y formalmente se dice que:
La idea de cardinalidad de un conjunto se basa en la noción anterior de biyección. De dos conjuntos entre los que se puede establecer una biyección se dice que tienen la misma cardinalidad. Para un conjunto finito su cardinalidad puede representarse por un número natural. Por ejemplo, el conjunto { manzana, pera, durazno} tiene 3 elementos. Esto significa de modo más formal que se puede establecer una biyección entre tal conjunto y el número 3 que es el conjunto {0,1,2}:
Manzana
↔
0
Pera
↔
Durazno
↔
2
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{ Manzana }}&\leftrightarrow &0\\{\mbox{ Pera }}&\leftrightarrow &1\\{\mbox{Durazno}}&\leftrightarrow &2\end{matrix}}}
Dicho de otra forma, es posible hacer parejas (0, manzana ), (1, pera ), (2, durazno) de modo que cada elemento de los dos conjuntos se utilice exactamente una vez. Cuando es posible establecer tal relación " uno a uno " entre dos conjuntos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, lo cual, para conjuntos finitos, equivale a que tengan el mismo número de elementos.
