La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es :
r
=
a
e
b
θ
{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}
o, de la misma forma
θ
=
b
ln
(
r
/
a
)
,
{\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}
Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:
e
b
θ
r
e
c
t
o
=
ϕ
{\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {recto} }}\,=\phi }
Por lo tanto, b se encuentra determinado por
b
=
ln
ϕ
θ
r
e
c
t
o
.
{\displaystyle b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {recto} }}.}
El valor numérico de b depende de si el ángulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivo o negativos según el signo de θ lo más sencillo es indicar su valor absoluto:
|
b
|
=
ln
ϕ
90
=
0.0053468
{\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,}
para θ en grados;
|
b
|
=
ln
ϕ
π
/
2
=
0.306349
{\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,}
para θ en radianes.Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:
r
=
a
c
θ
{\displaystyle r=ac^{\theta }\,}
donde la constante c está determinada por:
c
=
e
b
{\displaystyle c=e^{b}\,}
para la espiral dorada los valores de c son:
c
=
ϕ
90
≐
1.0053611
{\displaystyle c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}
si θ se mide en grados sexagesimales, y
c
=
ϕ
2
π
≐
1.358456.
{\displaystyle c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.}
si θ se mide en radianes.
Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales. Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.
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