Cox nació y se crio en Birmingham, Alabama, un suburbio de Mountain Brook, hija del empresario Richard Lewis Cox y de su esposa Courteney (nacida como Bass, luego, Copeland). Tiene dos hermanas mayores, Virginia y Dottie, y un hermano mayor, Richard. Tiene ascendencia irlandesa. Sus padres se divorciaron en 1974 y su madre se casó de nuevo con un empresario llamado Hunter Copeland. Después de graduarse de la secundaria Mountain Brook, Cox ingresó a la universidad Mount Vernon College en Washington D. C. pero no completó su curso de arquitectura, optando en su lugar por seguir una carrera en el modelaje y la actuación.
Cox estudió arquitectura en la universidad Mount Vernon para Mujeres en Washington D. C., que ahora es parte de la universidad George Washington, antes de que se fuera. Salió por primera vez en prominencia en un vídeo musical para Bruce Springsteen, "Dancing in the Dark" (en que ella era la chica que fue sacada al escenario para bailar con Springsteen). Cox es notable por ser la primera persona en usar la palabra "periodo" en la televisión de Estados Unidos para referirse a la menstruación en una campaña publicitaria de 1985 para los tampones Tampax. Sus primeros papeles en el cine incluyen Masters of the Universe (1987) y Cocoon: The Return (1988). Sus primeros trabajos en televisión incluyen un papel protagonista en la serie Misfits of Science (1985), y luego un papel recurrente (1987-89) en la serie Family Ties como Lauren Miller, la novia de Alex P. Keaton (Michael J. Fox). Tuvo un papel secundario como Jewel, una asistente de uñas para el personaje de James Belushi, en la película de fantasía de 1990 Mr. Destiny. En 1994, luego de su debut de la comedia Friends, Cox apareció con Jim Carrey en la película Ace Ventura: Pet Detective y en Seinfeld, en el episodio "The Wife" como la novia de Jerry llamada Meryl.