Mandelbulb je trojrozměrný fraktál, postavený Danielem Whiteem a Paulem Nylanderem pomocí sférických souřadnic v roce 2009. Kanonická trojrozměrná sada Mandelbrot neexistuje, protože neexistuje trojrozměrný analog 2-rozměrného prostoru komplexních čísel. Je možné sestrojit sady Mandelbrot ve 4 rozměrech pomocí kvaternionů a bikomplexních čísel.
White a Nylanderův vzorec pro „n-tou sílu“ vektoru
proti
=
⟨
X
,
y
,
z
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} = \ langle x, y, z \ rangle}
v ℝ3 je
proti
n
: =
r
n
⟨
hřích
(
n
θ
)
cos
(
n
ϕ
)
,
hřích
(
n
θ
)
hřích
(
n
ϕ
)
,
cos
(
n
θ
)
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {n}: = r ^ {n} \ langle \ sin (n \ theta) \ cos (n \ phi), \ sin (n \ theta) \ sin (n \ phi), \ cos (n \ theta) \ rangle}
kde
r
=
X
2
+
y
2
+
z
2
{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
,
ϕ
=
arctan
(
y
/
X
)
=
arg
(
X
+
y
i
)
{\ displaystyle \ phi = \ arctan (y / x) = \ arg (x + yi)}
, a
θ
=
arctan
(
X
2
+
y
2
/
z
)
=
arccos
(
z
/
r
)
{\ displaystyle \ theta = \ arctan ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} / z) = \ arccos (z / r)}
. Mandelbulb je pak definován jako soubor těchto
C
{\ displaystyle {\ mathbf {c}}}
v ℝ3, pro kterou je orbita
⟨
0
,
0
,
0
⟩
{\ displaystyle \ langle 0,0,0 \ rangle}
pod iterací
proti
↦
proti
n
+
C
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ mapsto {\ mathbf {v}} ^ {n} + {\ mathbf {c}}}
je ohraničen. Pro n> 3 je výsledkem trojrozměrná žárovkovitá struktura s detailem fraktálního povrchu a množstvím „laloků“ v závislosti na n. Mnoho z jejich grafických ztvárnění používá n = 8. Rovnice však mohou být zjednodušeny na racionální polynomy, když n je liché. Například v případě n = 3 lze třetí mocnost zjednodušit do elegantnější podoby:
⟨
X
,
y
,
z
⟩
3
=
⟨
(
3
z
2
-
X
2
-
y
2
)
X
(
X
2
-
3
y
2
)
X
2
...
