Опера́тор на́бла — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).
Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат оператор набла определяется следующим образом:
∇
=
∂
∂
x
i
→
+
∂
∂
y
j
→
+
∂
∂
z
k
→
{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}}
,где
i
→
,
j
→
,
k
→
{\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}
— единичные векторы по осям
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
соответственно.
Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:
∇
=
{
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
}
{\displaystyle \nabla =\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}}
.Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ
∇
{\displaystyle \nabla }
используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далёких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).
Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве следующего вида:
∇
=
∂
∂
x
1
e
→
1
+
∂
∂
x
2
e
→
2
+
.
.
.
+
∂
∂
x
n
e
→
n
{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2}+...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}}
,где
e
→
1
,
e
→
2
,
.
.
.
,
e
→
n
{\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}}
— единичные векторы по осям
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
соответственно.
Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку:
∇
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}}
— чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного
∇
{\displaystyle \nabla }
.
Иногда (особенно когда речь идёт только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.
